Ինքնակրթություն

Առներգծյալ շրջանագիծ, նախնական գաղափար և հատկություններ

Թեորեմ 1 — Եռանկյան որևէ անկյան կիսորդն ու մյուս երկու անկյուններին կից անկյուններ կիսորդները հատվում են մեկ կետում:

   Ապացույց։
Տրված ABC եռանկյան համար տանենք A և C անկյունների արտաքին անկյունների կիսորդները և ապացուցենք, որ այն գտնվում է B անկյան ներքին կիսորդի վրա: ∠DAC և ∠ECA կիսորդների հատման կետը նշանակենք O տառով: O կետից տանենք ուղղահայացներ BD, AC և BE ուղիղներին: Հատման կետերը համապատասխանաբար նշանակենք F, G և H: Քանի որ AO-ն DAC անկյան կիսորդն է, ուրեմն FO=GO:
Նման ձևով CO-ի, ECA անկյան կիսորդ լինելու փաստից հետևում է, որ GO=HO։ Այսպիսով FO=GO=HOայսինքն O կետը գտնվում է B անկյան ներքին կիսորդի վրա: Այսպիսով, ապացուցեցինք թեորեմը:


    Նաև տեսանք, որ O կետից տարված OF, OG և OH ուղղահայացներն իրար հավասար են, այսինքն O կենտրոնով և OG շառավղով շրջանագիծը կշոշափի AC կողմն ու BA և BCB կողմերի շարունակությունները:

Սահմանում — Եռանկյան որևէ կողմն ու մյուս երկու կողմերի շարունակությունները շոշափող շրջանագիծը կոչվում է եռանկյանն առներգծյալ շրջանագիծ:

    Վերն ապացուցվածի համաձայն իսկապես եռանկյունն ունի առներգծյալ շրջանագիծ, ընդ որում 3 հատ:


Թեորեմ 2 — Դիցուք՝ ABC եռանկյանն առներգծած շրջանագիծը շոշափում է AC կողմը: Այդ դեպքում B կետից շրջանագծին տարված շոշափողի երկարությունը հավասար է ABC եռանկյան կիսապարագծին:


Ապացույց — Նշանակենք a=BC, b=AC, c=AB:
Որպես միևնույն կետից շրջանագծին տարված շոշափողներ ունենք, որ BF=BH, AF=AG և CG=CH
Հետևաբար կարող ենք գրել, որ2BF=BF+BH=BA+AF+BC+CH =BA+BC+(AG+GC)=BA+BC+AC=2p,
որտեղից էլ հետևում է թեորեմի պնդումը (այսուհետ p-ով կնշանակենք եռանկյան կիսապարագիծը):

ra-ով նշանակենք BC, CA և AB կողմերը շոշափող առներգծյալ շրջանագծերը նշանակենք համապատասխանաբար ra,  rb և rc: Վերջապես, ABC եռանկյան մակերեսը նշանակենք S-ով:
Թեորեմ 3 — ra=S/(p−a)
 rb=S/(p−b)
 rc=S/(p−c):

Ապացույց — Նկատենք, որ
S=SABO+SCBO−SACO=AB⋅OF/2+BC⋅OH/2−AC⋅OG/2= c⋅rb/2+a⋅rb/2−b⋅rb/2=rb⋅(a+c−b)/2=rb(p−b):
Նման ձևով ապացուցվում է մյուս երկու հավասարությունները։

Թեորեմ 4 — Դիցուք r-ը ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղն է: Այդ դեպքում
1/r=1/ra+1/rb+1/rc:

Ապացույց — Դպրոցական դասընթացից գիտենք, որ S=pr, այսինքն 1/r=p/S։
Ստանանք նմանատիպ բանաձև աջ արտահայտության համար:
Նախորդ թեորեմի պնդման համաձայն
1/ra+1/rb+1/rc =(p−a)/S+(p−b)/S+(p−c)/S= (3p−(a+b+c))/S=(3p−2p)/S=p/S
Թեորեմն ապացուցված է:

Թեորեմ 5 — Եռանկյան մակերեսի քառակուսին հավասար է ներգծալ շրջանագծի և առներգծյալ շրջանագծերի շառավիղների արտադրյալին:
S2=r⋅ra⋅rb⋅rc

Ապացույց — Արդեն գիտենք, որ
S=pr=(p−a)ra=(p−b)rb=(p−c)rc
Բազմապատկելով իրար կստանանք, որ
S4=rrarbrcp(p−a)(p−b)(p−c)= r⋅ra⋅rb⋅rc S2:  
Վերջին հավասարության մեջ օգտվեցինք Հերոնի բանաձևից: Կրճատելով S2-ով՝ կստանանք պահանջվող պնդումը:
Թեորեմն ապացուցված է:

   Վերջում ձևակերպենք և ապացուցենք եռանկյան ներգծյալ, առներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերի միջև կապն արտահայտող բանաձևը:   
 Թեորեմ 6 — Դիցուք R-ը եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղն է: Այդ դեպքում
 ra+rb+rc−r=4R

 Ապացույց: Կատարենք նույնական ձևափոխություններ, միաժամանակ օգտվելով Հերոնի բանաձևից և Թեորեմ 3-ից
ra+rb+rc−r ==S((1/(p−a)+1/(p−b)+(1/(p−c)+1/p))=c/S⋅(p(p−c)+(p−a)(p−b)):
Համոզվեք ինքներդ, որ p(p−c)+(p−a)(p−b)=ab, որն էլ տեղադրելով վերջին հավասարության մեջ՝ կստանանք, որ
ra+rb+rc−r =abc/S

Ապացույցն ավարտելու համար մնում է վերհիշել արտագծյալ շրջանագծի շառավղի և եռանկյան մակերեսի միջը կապն արտահայտող S=abc/ 4R բանաձևը: Թեորեմն ապացուցված է:

Խնդիրներ։
1. ABC եռանկյան մեջ ∠A=60 աստիճան է: Եռանկյանը ներգծած 2 շառավղով շրջանագիծը AC կողմը շոշափում է M կետում: AC կողմն ու BA և BC կողմերի շարունակությունը շոշափող 3 շառավղով շրջանագիծը AC շոշափում է N կետում: Գտնել MN-ը:

2.  ABCեռանկյան մեջ ∠C=120 աստիճան։ O կենտրոնով շրջանագիծը շոշափում է եռանկյան ABկողմն ու մյուս երկու կողմերի շարունակությունները: Ապացուցել, որ OC հատվածի երկարությունը հավասար է ABC եռանկյան պարագծին:

3.  AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան B գագաթից տարված է AC-ին զուգահեռ ուղիղ և նրա վրա նշված է D կետն այնպես, որ AB=BD: Ապացուցել, որ D-ն եռանկյան առներգծած շրջանագծի կենտրոն է:

4. Եռանկյանն առներգծած շրջանագծերի կենտրոններն են O1, O2, O3 կետերը: Ապացուցել, որ  O1O2 O3  եռանկյան բարձրությունների հիմքերը A, B և C կետերն են:

5.  Դիցուք ABC եռանկյան ABև AC կողմերը շոշափող առներգծյալ շրջանագծերի շառավիղները համապատասխանաբար հավասար է rc և rb: Ապացուցել, որ
2/ha=1/rb+1/rc, ha-ն A գագաթից BC-ին տարված ուղղահայացի երկարությունն է:

Թողնել պատասխան

Ձեր էլ-փոստի հասցեն չի հրատարակվելու։ Պարտադիր դաշտերը նշված են *-ով